Да, должны.
Сведения о принятых на работу гражданах, а также сведения о случаях выявления граждан, не состоящих на воинском учете, но обязанных состоять (с вручением им направления в военный комиссариат для постановки на воинский учет), нужно направлять в военкомат в течение двух недель (п. 1 ст. 4 Закона N 53-ФЗ, пп. "б" п. 32 Положения).
В случае несообщения организацией в военный комиссариат сведений о принятых на работу либо об уволенных с работы гражданах, состоящих или обязанных состоять на воинском учете, предусмотрена административная ответственность по ч. 3 ст. 21.4 КоАП РФ, а в случае непредставления или несвоевременного представления сведений по запросу военного комиссариата предусмотрена ответственность по ст. 19.7 КоАП РФ.
Более полную информацию, касающуюся приема на работу сотрудника без военного билета, найдете в консультация эксперта.